Системы счисления
Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.
| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.Предположительно, первой системой счисления, возникшей для простых подсчётов, является унарная система счисления (лат. unus - единица).
Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).
Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.
В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.
| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.
Пример.
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.
Пример.
Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.
| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.
Пример.
Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.
Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:
Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».
| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).
Пример.
Укажем разряд каждой цифры в числе 753:
Развёрнутая форма представления чисел
В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.
Формула развёрнутой формы представления чисел:
где А – число;
q – основание системы счисления;
a – цифра данного числа;
n – число разрядов в числе.
Пример.
Представим число 75310 в развёрнутой форме.
1) Определим позиции каждой цифры в числе:
Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:
Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:
100 = 102
10 = 101
1 = 100
Запишем полученный результат.
Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!
Перевод числа в десятичную систему счисления
С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.
✒ Определение: каждую цифру числа нужно умножить на его основание, возведённое в степень, равную позиции цифры в числе.
Двоичная система счисления
| Двоичная система счисления – это система счисления по основанию 2.
Алфавит системы счисления: 0, 1.
Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.
Пусть дано десятичное число 2110.
1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 24 = 16;
2) Вычтем найденное число из данного: 21 - 16 = 5;
3) Повторить, пока не достигнем нуля.
В результате, мы получим следующие степени:
Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:
Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание
✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.
Пример.
Переведите число 1310 в двоичную систему счисления.
Ответ: 1310 = 11012.
Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание
✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.
Пример.
Переведите число 9710 в четверичную систему счисления.
Вариант записи №1.
Ответ: 9710 = 12014.
Вариант записи №2.
Ответ: 9710 = 12014.
Перевод методом триад и тетрад
✒ Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады. Если не хватает цифр до полной триады, её дополняют незначащими нулями.
Пример.
Число 11001001102 перевести в восьмеричную систему счисления.
Ответ: 11001001102 = 14468.
| Незначащий нуль – это нули перед или после числа, дополнение которыми никак не изменяет значение самого числа.
Пример.
Дополним число 112 до триады:
Дополним число 11,012 до двух триад:
✒ Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его необходимо разбить на тетрады. Если не хватает цифр до полной тетрады, её дополняют незначащими нулями.
Пример.
Число 11001011002 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
Ответ: 11001011002 = 32C16.
Литература:
1. Информатика: учебник для 8 класса / Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2016. - 176 с.
2. Информатика. 8 класса / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2019. - 256 с.
Непозиционные системы счисления
1. Вычислите десятичное число, записанное в римской системе счисления:
| а) XVII | д) DCCCXLVI | з) DCCXCV | |
| б) LXXII | е) CCXLVIII | к) CCCLXXII | |
| в) CXXIX | ж) DXCIX | л) DCCLXXVII | |
| г) XCIX | з) DCCXCV | м) MMCMXCIX |
2. Представьте данное десятичное число в римской системе счисления:
| а) 42 | д) 426 | з) 925 | |
| б) 76 | е) 267 | к) 2019 | |
| в) 132 | ж) 142 | л) 1744 | |
| г) 198 | з) 530 | м) 3333 |
Позиционные системы счисления
3. Определите вес (позицию) цифры 3 в числе 8736.
4. Определите вес (позицию) цифры 4 в числе 4865.
5. Определите вес (позицию) цифры 2 в числе 112358.
6. Определите вес (позицию) цифры 9 в числе 9631.
7. Определите вес (позицию) цифры 5 в числе 835776.
8. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1.
9. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3.
10. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
11. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4.
12. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А; В.
13. Некоторое число представлено в развёрнутой форме. Запишите это число в свёрнутой форме представления и укажите основание системы счисления, в которой записано это число:
14. Запишите число в развёрнутой форме представления:
Переводы методом развёрнутой формы представления
15. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:
| а) 1100 | д) 1100011 | з) 1001110111000 | |
| б) 11000 | е) 100101101 | к) 1001000010111 | |
| в) 101010 | ж) 101110110 | л) 101110101111 | |
| г) 1100011 | з) 111111 | м) 1111111 |
16. Даны числа в различных системах счисления. Выполните перевод в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:
17. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:
| а) 42 | д) 232 | з) 400 |
| б) 97 | е) 286 | к) 405 |
| в) 111 | ж) 309 | л) 528 |
18. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:
| а) 20 | д) 100 | з) 568 | |
| б) 31 | е) 102 | к) 443 | |
| в) 49 | ж) 127 | л) 500 | |
| г) 96 | з) 269 | м) 600 |
19. Сравните числа, записанные в двоичной системе счисления:
20. Выполните перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную методом деления на новое основание:
| а) 29 | д) 189 | з) 247 | |
| б) 46 | е) 154 | к) 549 | |
| в) 99 | ж) 177 | л) 627 | |
| г) 110 | з) 133 | м) 633 |
21. Выполните перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную методом деления на новое основание:
| а) 118 | д) 248 | з) 511 | |
| б) 126 | е) 216 | к) 918 | |
| в) 149 | ж) 299 | л) 1200 | |
| г) 113 | з) 303 | м) 1346 |
22. Выполните перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную методом разбиения числа на триады и тетрады:
| а) 100100 | д) 1110 | з) 10010111 | |
| б) 110010 | е) 1111 | к) 11101011 | |
| в) 1100 | ж) 100010 | л) 10101101 | |
| г) 10101 | з) 1011000 | м) 11111110 |