Системы счисления


Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.

 | Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.

Предположительно, первой системой счисления, возникшей для простых подсчётов, является унарная система счисления (лат. unus - единица).

Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).

Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.

В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.


 | Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.

Пример.

Египетская система счисления

Кириллическая система счисления

Римская система счисления

 | Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.

Пример.

Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:

753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1

 | Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.

 | Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.

Пример.

Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.

Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:

75310

Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».


 | Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).

Пример.

Укажем разряд каждой цифры в числе 753:



Развёрнутая форма представления чисел


В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.

Формула развёрнутой формы представления чисел:



где А – число;

q – основание системы счисления;

a – цифра данного числа;

n – число разрядов в числе.

Пример.

Представим число 75310 в развёрнутой форме.

1) Определим позиции каждой цифры в числе:


Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:


Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:

100 = 102

10 = 101

1 = 100

Запишем полученный результат.


Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!


Перевод числа в десятичную систему счисления


С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.


Определение: каждую цифру числа нужно умножить на его основание, возведённое в степень, равную позиции цифры в числе.



Двоичная система счисления


 | Двоичная система счисления – это система счисления по основанию 2.

Алфавит системы счисления: 0, 1.

Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2

Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.

Пусть дано десятичное число 2110.

1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 24 = 16;

2) Вычтем найденное число из данного: 21 - 16 = 5;

3) Повторить, пока не достигнем нуля.

В результате, мы получим следующие степени:


Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:



Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.

Пример.

Переведите число 1310 в двоичную систему счисления.


Ответ: 1310 = 11012.



Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.

Пример.

Переведите число 9710 в четверичную систему счисления.

Вариант записи №1.


Ответ: 9710 = 12014.

Вариант записи №2.


Ответ: 9710 = 12014.


Перевод методом триад и тетрад


Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады. Если не хватает цифр до полной триады, её дополняют незначащими нулями.


Пример.

Число 11001001102 перевести в восьмеричную систему счисления.


Ответ: 11001001102 = 14468.


 | Незначащий нуль – это нули перед или после числа, дополнение которыми никак не изменяет значение самого числа.

Пример.

Дополним число 112 до триады:


Дополним число 11,012 до двух триад:


Определение: Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его необходимо разбить на тетрады. Если не хватает цифр до полной тетрады, её дополняют незначащими нулями.

Пример.

Число 11001011002 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.


Ответ: 11001011002 = 32C16.




Литература:
1. Информатика: учебник для 8 класса / Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2016. - 176 с.
2. Информатика. 8 класса / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2019. - 256 с.




Непозиционные системы счисления

1. Вычислите десятичное число, записанное в римской системе счисления:

а) XVII  д) DCCCXLVI  з) DCCXCV
б) LXXII  е) CCXLVIII  к) CCCLXXII
в) CXXIX  ж) DXCIX  л) DCCLXXVII
г) XCIX  з) DCCXCV  м) MMCMXCIX

2. Представьте данное десятичное число в римской системе счисления:

а) 42  д) 426  з) 925
б) 76  е) 267  к) 2019
в) 132  ж) 142  л) 1744
г) 198  з) 530  м) 3333

Позиционные системы счисления

3. Определите вес (позицию) цифры 3 в числе 8736.

4. Определите вес (позицию) цифры 4 в числе 4865.

5. Определите вес (позицию) цифры 2 в числе 112358.

6. Определите вес (позицию) цифры 9 в числе 9631.

7. Определите вес (позицию) цифры 5 в числе 835776.

8. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1.

9. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3.

10. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

11. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4.

12. Укажите название системы счисления, алфавит которой состоит из следующих цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А; В.

13. Некоторое число представлено в развёрнутой форме. Запишите это число в свёрнутой форме представления и укажите основание системы счисления, в которой записано это число:


14. Запишите число в развёрнутой форме представления:


Переводы методом развёрнутой формы представления


15. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:

а) 1100  д) 1100011  з) 1001110111000
б) 11000  е) 100101101  к) 1001000010111
в) 101010  ж) 101110110  л) 101110101111
г) 1100011  з) 111111  м) 1111111

16. Даны числа в различных системах счисления. Выполните перевод в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:


17. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:

а) 42  д) 232  з) 400
б) 97  е) 286  к) 405
в) 111  ж) 309  л) 528

18. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:

а) 20  д) 100  з) 568
б) 31  е) 102  к) 443
в) 49  ж) 127  л) 500
г) 96  з) 269  м) 600

19. Сравните числа, записанные в двоичной системе счисления:


20. Выполните перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную методом деления на новое основание:

а) 29  д) 189  з) 247
б) 46  е) 154  к) 549
в) 99  ж) 177  л) 627
г) 110  з) 133  м) 633

21. Выполните перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную методом деления на новое основание:

а) 118  д) 248  з) 511
б) 126  е) 216  к) 918
в) 149  ж) 299  л) 1200
г) 113  з) 303  м) 1346

22. Выполните перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную методом разбиения числа на триады и тетрады:

а) 100100  д) 1110  з) 10010111
б) 110010  е) 1111  к) 11101011
в) 1100  ж) 100010  л) 10101101
г) 10101  з) 1011000  м) 11111110



2018-2022 © Использование материалов допускается только в образовательных целях и с разрешения автора.