Основоположником формальной логики считается Аристотель. Формальная логика изучает общие правила истинности и работает с логическими высказываниями.
Если обозначить истинное значение за единицу, а ложно за нуль, то формальная логика будет напрямую соответствовать выполнению операций в двоичном кодировании.
Раздел математики, занимающийся исследованием логических высказываний – алгебра логики или булева алгебра.
Наименьшей единицей, в булевой алгебре, является простое высказывание.
Пример: «За окном идёт снег». Это высказывание нельзя сделать проще, в отличии от сложных высказываний.
Сложные высказывания строятся из простых и содержат логические связки «И», «ИЛИ», «НЕ» и другие.
Пример: «За окном идёт снег И Стоит мороз».
Высказывания принято обозначать латинскими буквами.
Обозначим за А высказывание «За окном идёт снег», а за В – «Стоит мороз». Рассмотрим примеры построения сложных высказываний с использованием логических связок.
А: «За окном идёт снег»
В: «Стоит мороз»
НЕ А: «За окном не идёт снег»
НЕ В: «Мороза нет»
А И В: «За окном идёт снег и стоит мороз»
А ИЛИ В: «За окном идёт снег или стоит мороз»
Смысл операции: результат меняется на противоположный.
Обозначение: ¬ , Ā.
Смысл операции: истина, если хотя бы один операнд – истина.
Обозначение: ∨, +.
Смысл операции: истина, если оба операнда – истина.
Обозначение: ∧, &.
Смысл операции: из лжи может следовать что угодно, а из истины – только истина.
Обозначение: ⟶, ⇒.
Смысл операции: истина, если операнды одинаковы.
Обозначение: ≡, ⟷, ⟺.
Смысл операции: истина, если операнды различны.
Обозначение: ⊕, ≠.
Логические функции A⟶B, A⟷B и A⊕B можно выразить через базовые логические операции НЕ, И, ИЛИ:
A ⟶ B = ¬A ∨ В,
A ⟷ B = A & B ∨ ¬A & ¬B = (A ∨ ¬B) & (¬A ∨ B),
A ⊕ B = A & ¬B ∨ ¬A & B = (A ∨ B) & (¬A ∨ ¬B).
Порядок выполнения логических выражений:
Рассмотрим решение логического выражения.
Дано несколько высказываний:
А = «2 х 2 = 5» - ложь (0); В = «2 х 2 = 4» - истина (1);
¬A = «2 х 2 ≠ 5» - истина (1); ¬B = «2 х 2 ≠ 4» - ложь (0).
Определите истинность сложного выражения:
F = (А ∨ В) & ( ¬A ∨ ¬B).
Решение:
F = (А ∨ В) & ( ¬A ∨ ¬B) = (0 ∨ 1) & (1 ∨ 0) = 1 & 1 = 1.
Если необходимо перебрать все возможные исходы, решение следует представить в виде таблицы истинности.
Пусть F = (А ∨ В) & ( ¬A ∨ ¬B). Построим таблицу истинности:
1. Для какого из приведённых значений Х ложно высказывание:
НЕ (Х < 8) ИЛИ (Х < 6)
а) 9 б) 7 в) 6 г) 5
2. Для какого из приведённых значений Х ложно высказывание:
(Х ≤ 15) ИЛИ НЕ (Х ≥ 18)
а) 10 б) 9 в) 16 г) 20
3. Для какого из приведённых значений Х истинно высказывание:
НЕ (Х > 27) И (Х > 26)
а) 23 б) 27 в) 30 г) 24
4. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
(Первая цифра чётная) И НЕ (Последняя цифра нечётная)
а) 286 б) 241 в) 332 г) 123
5. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
НЕ (число чётное) И (число > 21)
а) 21 б) 23 в) 24 г) 20
6. Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:
(число нечётное) И НЕ (число < 16)
а) 15 б) 16 в) 17 г) 14