Основные понятия алгебры логики


 | Логика – это наука о законах и формах мышления.

Основоположником формальной логики считается Аристотель. Формальная логика изучает общие правила истинности и работает с логическими высказываниями.


 | Логическое высказывание – это сообщение, которое принимает одно из двух значений – истина или ложь.

Если обозначить истинное значение за единицу, а ложно за нуль, то формальная логика будет напрямую соответствовать выполнению операций в двоичном кодировании.

Раздел математики, занимающийся исследованием логических высказываний – алгебра логики или булева алгебра.


 | Алгебра логики – это раздел математики, исследующий методы записи, вычислений, упрощения и преобразования логических высказываний.

Наименьшей единицей, в булевой алгебре, является простое высказывание.

Пример: «За окном идёт снег». Это высказывание нельзя сделать проще, в отличии от сложных высказываний.

Сложные высказывания строятся из простых и содержат логические связки «И», «ИЛИ», «НЕ» и другие.

Пример: «За окном идёт снег И Стоит мороз».

Высказывания принято обозначать латинскими буквами.


Обозначим за А высказывание «За окном идёт снег», а за В – «Стоит мороз». Рассмотрим примеры построения сложных высказываний с использованием логических связок.

А: «За окном идёт снег»

В: «Стоит мороз»

НЕ А: «За окном не идёт снег»

НЕ В: «Мороза нет»

А И В: «За окном идёт снег и стоит мороз»

А ИЛИ В: «За окном идёт снег или стоит мороз»


Основные логические операции


» Инверсия (отрицание)

Смысл операции: результат меняется на противоположный.

Обозначение: ¬ , Ā.

» Дизъюнкция (логическое сложение)

Смысл операции: истина, если хотя бы один операнд – истина.

Обозначение: ∨, +.

» Конъюнкция (логическое умножение)

Смысл операции: истина, если оба операнда – истина.

Обозначение: ∧, &.

» Импликация (следование)

Смысл операции: из лжи может следовать что угодно, а из истины – только истина.

Обозначение: ⟶, ⇒.

» Эквиваленция (равносильность)

Смысл операции: истина, если операнды одинаковы.

Обозначение: ≡, ⟷, ⟺.

» Строгая дизъюнкция (сложение по модулю 2)

Смысл операции: истина, если операнды различны.

Обозначение: ⊕, ≠.

Логические функции A⟶B, A⟷B и A⊕B можно выразить через базовые логические операции НЕ, И, ИЛИ:

A ⟶ B = ¬A ∨ В,

A ⟷ B = A & B ∨ ¬A & ¬B = (A ∨ ¬B) & (¬A ∨ B),

A ⊕ B = A & ¬B ∨ ¬A & B = (A ∨ B) & (¬A ∨ ¬B).


Порядок выполнения логических выражений:



Рассмотрим решение логического выражения.

Дано несколько высказываний:

А = «2 х 2 = 5» - ложь (0); В = «2 х 2 = 4» - истина (1);

¬A = «2 х 2 ≠ 5» - истина (1); ¬B = «2 х 2 ≠ 4» - ложь (0).

Определите истинность сложного выражения:

F = (А ∨ В) & ( ¬A ∨ ¬B).


Решение:

F = (А ∨ В) & ( ¬A ∨ ¬B) = (0 ∨ 1) & (1 ∨ 0) = 1 & 1 = 1.

Если необходимо перебрать все возможные исходы, решение следует представить в виде таблицы истинности.


Пусть F = (А ∨ В) & ( ¬A ∨ ¬B). Построим таблицу истинности:



Литература:
1. Информатика: учебник для 8 класса / Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2016. - 176 с.
2. Информатика. 8 класса / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2019. - 256 с.




Переводы


1. Для какого из приведённых значений Х ложно высказывание:

НЕ (Х < 8) ИЛИ (Х < 6)

а) 9    б) 7    в) 6    г) 5


2. Для какого из приведённых значений Х ложно высказывание:

(Х ≤ 15) ИЛИ НЕ (Х ≥ 18)

а) 10    б) 9    в) 16    г) 20


3. Для какого из приведённых значений Х истинно высказывание:

НЕ (Х > 27) И (Х > 26)

а) 23    б) 27    в) 30    г) 24


4. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:

(Первая цифра чётная) И НЕ (Последняя цифра нечётная)

а) 286    б) 241    в) 332    г) 123


5. Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:

НЕ (число чётное) И (число > 21)

а) 21    б) 23    в) 24    г) 20


6. Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:

(число нечётное) И НЕ (число < 16)

а) 15    б) 16    в) 17    г) 14




2018-2022 © Использование материалов допускается только в образовательных целях и с разрешения автора.