Системы счисления


Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.

 | Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.

Предположительно, первой системой счисления, возникшей для простых подсчётов, является унарная система счисления (лат. unus - единица).

Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).

Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.

В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.


 | Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.

Пример.

Египетская система счисления

Кириллическая система счисления

Римская система счисления

 | Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.

Пример.

Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:

753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1

 | Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.

 | Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.

Пример.

Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.

Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:

75310

Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».


 | Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).

Пример.

Укажем разряд каждой цифры в числе 753:



Развёрнутая форма представления чисел


В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.

Формула развёрнутой формы представления чисел:



где А – число;

q – основание системы счисления;

a – цифра данного числа;

n – число разрядов в числе.

Пример.

Представим число 75310 в развёрнутой форме.

1) Определим позиции каждой цифры в числе:


Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:


Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:

100 = 102

10 = 101

1 = 100

Запишем полученный результат.


Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!


Перевод числа в десятичную систему счисления


С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.


Определение: каждую цифру числа нужно умножить на его основание, возведённое в степень, равную позиции цифры в числе.



Двоичная система счисления


 | Двоичная система счисления – это система счисления по основанию 2.

Алфавит системы счисления: 0, 1.

Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2

Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.

Пусть дано десятичное число 2110.

1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 24 = 16;

2) Вычтем найденное число из данного: 21 - 16 = 5;

3) Повторить, пока не достигнем нуля.

В результате, мы получим следующие степени:


Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:



Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание

Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.

Пример.

Переведите число 1310 в двоичную систему счисления.


Ответ: 1310 = 11012.



Арифметические операции в двоичной системе счисления


Все вычисления в компьютере выполняются в двоичной системе счисления.

Рассмотрим базовые арифметические операции.





Кодирование числовой информации в памяти компьютера


Для представления целого числа без знака в памяти компьютера, необходимо:

1. перевести число в двоичную систему счисления;

2. поместить число в ячейку памяти компьютера;

3. заполнить пустые ячейки незначащими нулями.

Представьте число 5610 в компьютерной форме.

Решение.

1. переведём число в двоичную систему счисления:

5610 = 1110002

2. число состоит из 6 разрядов и помещается в одну ячейку:


3. дополним незначащими нулями:


Ответ: 5610 = 001110002

Диапазон значений целых чисел без знака


Хранение чисел со знаком отличается от беззнаковой формы.

Знак «+» принято обозначать за «0», а знак «–» за «1». Знак записывается в старший бит ячейки. Для хранения таких чисел выделяют 1, 2 или 4 байта.

Для представления целого числа со знаком «+» в памяти компьютера, необходимо:

1. перевести число в двоичную систему счисления;

2. поместить число в ячейку памяти;

3. выделить старший бит ячейки под знак и поставить на это место нуль.

4. заполнить оставшиеся биты незначащими нулями.

Пример.

Представьте число +29210 в компьютерной форме.

Решение.

1. переведём число в двоичную систему счисления:

29210 = 1001001002

2. число состоит из 9 разрядов и для хранения требует двух ячеек:


3. число положительное, значит в старший бит необходимо поместить нуль:


4. заполним оставшиеся биты незначащими нулями:


Ответ: +29210 = 00000001001001002



Для представления целого числа со знаком «–» в памяти компьютера применяют метод прямого и обратного кода:

1. перевести модуль данного числа в двоичную систему;

2. Прямой код: поместить число в ячейку памяти и дополнить его незначащими нулями;

3. Обратный код: выполнить инверсию (заменить нули на единицы и наоборот);

4. Дополнительный код: увеличить получившееся число на единицу.

Пример.

Представьте число –8710 в компьютерной форме.

Решение.

1. переведём модуль числа в двоичную систему счисления:

|–8710| = 10101112

2. число состоит из 7 разрядов и помещается в одну ячейку. Поместим число в ячейку и дополним незначащими нулями:


3. инверсия:


4. прибавляем к числу единицу:


Ответ: –8710 = 101010012

Обратите внимание на старший бит. Здесь 1 – это знак числа.

Диапазон значений целых чисел со знаком


Литература:
1. Информатика: учебник для 8 класса / Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2016. - 176 с.
2. Информатика. 8 класса / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2019. - 256 с.




Переводы


1. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:

а) 11002д) 11000112з) 10011101110002
б) 110002е) 1001011012к) 10010000101112
в) 1010102ж) 1011101102л) 1011101011112
г) 11000112з) 1111112м) 11111112

2. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:

а) 42  д) 232  з) 400
б) 97  е) 286  к) 405
в) 111  ж) 309  л) 528

3. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:

а) 20  д) 100  з) 568
б) 31  е) 102  к) 443
в) 49  ж) 127  л) 500
г) 96  з) 269  м) 600

Арифметические операции в двоичной СС


4. Выполните сложение чисел:

а) 10012 + 11002д) 1000012 + 110002
б) 10102 + 10102е) 1011102 + 10101002
в) 1110012 + 1101102ж) 10111112 + 10111112
г) 1010102 + 1100112з) 11110112 + 11110012

5. Выполните вычитание чисел:

а) 11002 - 1012д) 1000012 - 110012
б) 10102 - 10112е) 1011102 - 111012
в) 1110012 - 101102ж) 10111112 - 1110112
г) 1010102 - 110112з) 10010112 - 1110012

6. Выполните умножение чисел:

а) 11002 × 1012д) 1011002 × 10112
б) 10102 × 1112е) 1011112 × 11012
в) 110112 × 10112ж) 1011012 × 11112
г) 111102 × 10112з) 1010112 × 11102

7. Найти значение выражения:

а) 110012 – 102 + 112

б) 101112 + 112 – 1012

в) 101012 – 112 × 112

г) 1012 × 102 + 10102

д) 102 × (1112 + 112)

е) (101012 – 1012) × 1012

ж) (110012 – 1112) + (1012 – 112)

з) (1001012 + 1112) – (1011012 – 10102)

и) (10012 – 1112) × (101012 – 11112)

к) (11012 + 1112) × (1011012 – 11112)



Кодирование чисел


8. Представьте целое десятичное число со знаком в памяти компьютера. Сколько ячеек памяти нужно выделить для хранения данного числа?

а) +25  д) +204  з) +512
б) +64  е) +212  к) +4096
в) +96  ж) +256  л) +32256
г) +128  з) +302  м) +65536

9. Представьте целое десятичное число со знаком в памяти компьютера. Сколько ячеек памяти нужно выделить для хранения данного числа?

а) -25  д) -204  з) -512
б) -64  е) -212  к) -4096
в) -96  ж) -256  л) -32256
г) -128  з) -302  м) -65536

10. Дано внутреннее представление целого числа со знаком. Какому десятичному числу оно соответствует?

а) 000010002д) 100001102
б) 000111102е) 101111112
в) 00000000011001002ж) 10000000000000112
г) 00010001010100012з) 10110000111000012



2018-2022 © Использование материалов допускается только в образовательных целях и с разрешения автора.