Системы счисления
Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.
| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.Предположительно, первой системой счисления, возникшей для простых подсчётов, является унарная система счисления (лат. unus - единица).
Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).
Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.
В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.
| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.
Пример.
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.
Пример.
Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.
| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.
Пример.
Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.
Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:
Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».
| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).
Пример.
Укажем разряд каждой цифры в числе 753:
Развёрнутая форма представления чисел
В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.
Формула развёрнутой формы представления чисел:
где А – число;
q – основание системы счисления;
a – цифра данного числа;
n – число разрядов в числе.
Пример.
Представим число 75310 в развёрнутой форме.
1) Определим позиции каждой цифры в числе:
Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:
Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:
100 = 102
10 = 101
1 = 100
Запишем полученный результат.
Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!
Перевод числа в десятичную систему счисления
С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.
✒ Определение: каждую цифру числа нужно умножить на его основание, возведённое в степень, равную позиции цифры в числе.
Двоичная система счисления
| Двоичная система счисления – это система счисления по основанию 2.
Алфавит системы счисления: 0, 1.
Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.
Пусть дано десятичное число 2110.
1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 24 = 16;
2) Вычтем найденное число из данного: 21 - 16 = 5;
3) Повторить, пока не достигнем нуля.
В результате, мы получим следующие степени:
Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:
Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание
✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.
Пример.
Переведите число 1310 в двоичную систему счисления.
Ответ: 1310 = 11012.
Арифметические операции в двоичной системе счисления
Все вычисления в компьютере выполняются в двоичной системе счисления.
Рассмотрим базовые арифметические операции.
Кодирование числовой информации в памяти компьютера
Для представления целого числа без знака в памяти компьютера, необходимо:
1. перевести число в двоичную систему счисления;
2. поместить число в ячейку памяти компьютера;
3. заполнить пустые ячейки незначащими нулями.
Представьте число 5610 в компьютерной форме.
Решение.
1. переведём число в двоичную систему счисления:
5610 = 11100022. число состоит из 6 разрядов и помещается в одну ячейку:
3. дополним незначащими нулями:
Ответ: 5610 = 001110002
Хранение чисел со знаком отличается от беззнаковой формы.
Знак «+» принято обозначать за «0», а знак «–» за «1». Знак записывается в старший бит ячейки. Для хранения таких чисел выделяют 1, 2 или 4 байта.
Для представления целого числа со знаком «+» в памяти компьютера, необходимо:
1. перевести число в двоичную систему счисления;
2. поместить число в ячейку памяти;
3. выделить старший бит ячейки под знак и поставить на это место нуль.
4. заполнить оставшиеся биты незначащими нулями.
Пример.
Представьте число +29210 в компьютерной форме.
Решение.
1. переведём число в двоичную систему счисления:
29210 = 1001001002
2. число состоит из 9 разрядов и для хранения требует двух ячеек:
3. число положительное, значит в старший бит необходимо поместить нуль:
4. заполним оставшиеся биты незначащими нулями:
Ответ: +29210 = 00000001001001002
Для представления целого числа со знаком «–» в памяти компьютера применяют метод прямого и обратного кода:
1. перевести модуль данного числа в двоичную систему;
2. Прямой код: поместить число в ячейку памяти и дополнить его незначащими нулями;
3. Обратный код: выполнить инверсию (заменить нули на единицы и наоборот);
4. Дополнительный код: увеличить получившееся число на единицу.
Пример.
Представьте число –8710 в компьютерной форме.
Решение.
1. переведём модуль числа в двоичную систему счисления:
|–8710| = 10101112
2. число состоит из 7 разрядов и помещается в одну ячейку. Поместим число в ячейку и дополним незначащими нулями:
3. инверсия:
4. прибавляем к числу единицу:
Ответ: –8710 = 101010012
Обратите внимание на старший бит. Здесь 1 – это знак числа.
Литература:
1. Информатика: учебник для 8 класса / Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2016. - 176 с.
2. Информатика. 8 класса / К.Ю. Поляков, Е.А. Еремин. - М.: БИНОМ.Лаборатория знаний, 2019. - 256 с.
Переводы
1. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:
| а) 11002 | д) 11000112 | з) 10011101110002 | |
| б) 110002 | е) 1001011012 | к) 10010000101112 | |
| в) 1010102 | ж) 1011101102 | л) 1011101011112 | |
| г) 11000112 | з) 1111112 | м) 11111112 |
2. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:
| а) 42 | д) 232 | з) 400 |
| б) 97 | е) 286 | к) 405 |
| в) 111 | ж) 309 | л) 528 |
3. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:
| а) 20 | д) 100 | з) 568 | |
| б) 31 | е) 102 | к) 443 | |
| в) 49 | ж) 127 | л) 500 | |
| г) 96 | з) 269 | м) 600 |
Арифметические операции в двоичной СС
4. Выполните сложение чисел:
| а) 10012 + 11002 | д) 1000012 + 110002 | |
| б) 10102 + 10102 | е) 1011102 + 10101002 | |
| в) 1110012 + 1101102 | ж) 10111112 + 10111112 | |
| г) 1010102 + 1100112 | з) 11110112 + 11110012 |
5. Выполните вычитание чисел:
| а) 11002 - 1012 | д) 1000012 - 110012 | |
| б) 10102 - 10112 | е) 1011102 - 111012 | |
| в) 1110012 - 101102 | ж) 10111112 - 1110112 | |
| г) 1010102 - 110112 | з) 10010112 - 1110012 |
6. Выполните умножение чисел:
| а) 11002 × 1012 | д) 1011002 × 10112 | |
| б) 10102 × 1112 | е) 1011112 × 11012 | |
| в) 110112 × 10112 | ж) 1011012 × 11112 | |
| г) 111102 × 10112 | з) 1010112 × 11102 |
7. Найти значение выражения:
а) 110012 – 102 + 112
б) 101112 + 112 – 1012
в) 101012 – 112 × 112
г) 1012 × 102 + 10102
д) 102 × (1112 + 112)
е) (101012 – 1012) × 1012
ж) (110012 – 1112) + (1012 – 112)
з) (1001012 + 1112) – (1011012 – 10102)
и) (10012 – 1112) × (101012 – 11112)
к) (11012 + 1112) × (1011012 – 11112)
Кодирование чисел
8. Представьте целое десятичное число со знаком в памяти компьютера. Сколько ячеек памяти нужно выделить для хранения данного числа?
| а) +25 | д) +204 | з) +512 | |
| б) +64 | е) +212 | к) +4096 | |
| в) +96 | ж) +256 | л) +32256 | |
| г) +128 | з) +302 | м) +65536 |
9. Представьте целое десятичное число со знаком в памяти компьютера. Сколько ячеек памяти нужно выделить для хранения данного числа?
| а) -25 | д) -204 | з) -512 | |
| б) -64 | е) -212 | к) -4096 | |
| в) -96 | ж) -256 | л) -32256 | |
| г) -128 | з) -302 | м) -65536 |
10. Дано внутреннее представление целого числа со знаком. Какому десятичному числу оно соответствует?
| а) 000010002 | д) 100001102 | |
| б) 000111102 | е) 101111112 | |
| в) 00000000011001002 | ж) 10000000000000112 | |
| г) 00010001010100012 | з) 10110000111000012 |